︠97b4b577-1eb0-46a0-b015-74b161befe0di︠
%html
Consideramos la representación $R: GL(2,C) \rightarrow GL(Mat_2(C))$, con $g$ actuando como $M \mapsto g M g^T$.
︡314829c1-2f11-407b-aa4b-a5a075154604︡{"html":"Consideramos la representación $R: GL(2,C) \\rightarrow GL(Mat_2(C))$, con $g$ actuando como $M \\mapsto g M g^T$.\n\n"}︡
︠8ddf8a71-86b7-4ebb-8ff1-73e82ba3dddai︠
%html
Introducimos:
- $g$ (elemento del grupo de Lie $GL(2,C)$),
- $dg$ (elemento de su álgebra de Lie $gl(2,C)$),
- $M$ (elemento del espacio soporte $Mat_2(C)$).
︡1407d67d-2468-4037-b3d9-82059ad394e0︡{"html":"Introducimos: \n\n\n - $g$ (elemento del grupo de Lie $GL(2,C)$),
\n - $dg$ (elemento de su álgebra de Lie $gl(2,C)$),
\n - $M$ (elemento del espacio soporte $Mat_2(C)$).
\n
\n\n"}︡
︠ac7ebed6-4b8f-43bc-89c7-75cef62e7619s︠
var('a b c d x y z t');
g = matrix(SR,[[a,b],[c,d]]) ## elemento del grupo de Lie GL(2,C)
dg = matrix(SR,[[a,b],[c,d]]) ## elemento del álgebra de Lie gl(2,C)
M = matrix(SR,[[x,y],[z,t]]) ## elemento de Mat2(C)
print "Elemento del grupo de Lie: ", show(g)
print "Elemento del álgebra de Lie:", show(dg)
print "Elemento del espacio soporte de la representación:",show(M)
︡847ac590-2b1e-4ed5-8bbc-130d5d355ad3︡{"stdout":"(a, b, c, d, x, y, z, t)\n"}︡{"stdout":"Elemento del grupo de Lie: "}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & b \\\\\nc & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"Elemento del álgebra de Lie:"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & b \\\\\nc & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"Elemento del espacio soporte de la representación:"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\nx & y \\\\\nz & t\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡
︠95ce05de-d726-4340-a62a-4335af72708es︠
def accionGrupo(g,M):
return g*M*g.transpose().simplify_rational()
print "Imagen de M bajo la acción de g: en la representación:"
show(accionGrupo(g,M)) ## F(g) (M)
︡79e1999c-e704-41cb-ad36-b91820b6b683︡{"stdout":"Imagen de M bajo la acción de g: en la representación:\n"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n{\\left(a x + b z\\right)} a + {\\left(b t + a y\\right)} b & {\\left(a x + b z\\right)} c + {\\left(b t + a y\\right)} d \\\\\n{\\left(c x + d z\\right)} a + {\\left(d t + c y\\right)} b & {\\left(c x + d z\\right)} c + {\\left(d t + c y\\right)} d\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠be188987-1499-40eb-b818-abb24331ca55is︠
%html
Base del espacio soporte
︡1e9bea32-8f37-46da-99d9-bbded7090dc8︡{"html":"Base del espacio soporte\n"}︡
︠96dd415c-2b13-4cb1-8861-aa73182b3355︠
u11=matrix([[1,0],[0,0]])
u12=matrix([[0,1],[0,0]])
u21=matrix([[0,0],[1,0]])
u22=matrix([[0,0],[0,1]])
Base = [u11,u12,u21,u22]
print "Base del espacio soporte:", show(Base)
LL=[(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)] ## seleccion del coeficiente en la matrix
R1 = matrix(SR,4,4,lambda i,j: accionGrupo(g,Base[i])[LL[j]])
print "El elemento siguiente del grupo de Lie:", show(g)
print "está representado por el operador de matriz", show(R1)
︡74308921-5c85-408d-ba1f-4505a3ce5e81︡{"stdout":"Base del espacio soporte:"}︡{"html":"[$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n1 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 0 \\\\\n1 & 0\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 0 \\\\\n0 & 1\n\\end{array}\\right)$]
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"El elemento siguiente del grupo de Lie:"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & b \\\\\nc & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"está represenatdo por el operador de matriz"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rrrr}\na^{2} & a c & a c & c^{2} \\\\\na b & a d & b c & c d \\\\\na b & b c & a d & c d \\\\\nb^{2} & b d & b d & d^{2}\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡
︠1c9d6ef4-55bd-401a-be4e-1a86fbb8b664i︠
%html
En la base siguiente, las matrices $F(g)$ tienen una estructura por bloques. Hemos obtenido subespacios invariantes.
%html
Introducimos una nueva base, adaptada a la descomposición como suma de respresentaciones:
$$\text{MATRICES} = \text{SIMETRICAS} \oplus \text{ANTISIMETRICAS} $$
︡dd8c76d9-f918-45fd-a231-4ca8547b998b︡{"html":"En la base siguiente, las matrices $F(g)$ tienen una estructura por bloques. Hemos obtenido subespacios invariantes.\n%html\nIntroducimos una nueva base, adaptada a la descomposición como suma de respresentaciones:\n$$\\text{MATRICES} = \\text{SIMETRICAS} \\oplus \\text{ANTISIMETRICAS} $$\n\n"}︡
︠92caf21e-7561-4545-8e13-caec38da3363s︠
Base_adaptada = [u11, u22, u12+u21, u12-u21]
print "Base adaptada a la descomposición en suma directa", show(Base_adaptada)
P = matrix([[1,0,0,0],[0,0,0,1],[0,1,1,0],[0,1,-1,0]]) ## Matriz de cambio de base
R2 = P*R1*P.inverse()
print "El elemento siguiente del grupo de Lie:", show(g)
print "está representado por el operador de matriz (con respecto a la base adptada)", show(R2)
︡a9212435-37b4-404a-a9c0-a32eb18b85ce︡{"stdout":"Base adaptada a la descomposición en suma directa"}︡{"html":"[$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n1 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 0 \\\\\n0 & 1\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n1 & 0\n\\end{array}\\right)$, $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n-1 & 0\n\\end{array}\\right)$]
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"El elemento siguiente del grupo de Lie:"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & b \\\\\nc & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"está representado por el operador de matriz (con respecto a la base adptada)"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rrrr}\na^{2} & c^{2} & a c & 0 \\\\\nb^{2} & d^{2} & b d & 0 \\\\\n2 \\, a b & 2 \\, c d & b c + a d & 0 \\\\\n0 & 0 & 0 & -b c + a d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡
︠621398b4-0416-4a1c-8d6f-57e850963cees︠
%html
Veamos ahora la acción del álgebra de Lie
︡983b0f1d-4038-4d53-ae43-9cd340fcee02︡{"html":"Veamos ahora la acción del álgebra de Lie\n"}︡
︠4031dd19-0335-4085-8b96-f291bc0a07e3s︠
def accionAlgebra(dg, M):
return dg*M + M*dg.transpose()
A1 = matrix(SR,4,4,lambda i,j: accionAlgebra(dg,Base[i])[LL[j]])
A2 = P*A1*P.inverse()
print "El elemento siguiente del álgebra de Lie:", show(dg)
print "está representado por el operador de matriz", show(A1)
print "y en la base adaptada", show(A2)
︡beaf0afc-1412-4936-a861-c8909d9ebe9a︡{"stdout":"El elemento siguiente del álgebra de Lie:"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & b \\\\\nc & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"está representado por el operador de matriz"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rrrr}\n2 \\, a & c & c & 0 \\\\\nb & a + d & 0 & c \\\\\nb & 0 & a + d & c \\\\\n0 & b & b & 2 \\, d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡{"stdout":"y en la base adaptada"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rrrr}\n2 \\, a & 0 & c & 0 \\\\\n0 & 2 \\, d & b & 0 \\\\\n2 \\, b & 2 \\, c & a + d & 0 \\\\\n0 & 0 & 0 & a + d\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"stdout":" None\n"}︡
︠be0cd873-d442-4720-88dc-f9169b726882s︠
## Generadores del algebra de Lie
Jmas = matrix([[0,1],[0,0]]) ## Matrices triangualres superiores estrictas
Jmenos = matrix([[0,0],[1,0]]) ## ... inferiores estrictas
Jdiag = matrix([[a,0],[0,d]]) # Diagonales
show(Jmas, Jmenos, Jdiag)
︡9c5f52bd-4816-4d69-ab85-919939a6112c︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$ $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 0 \\\\\n1 & 0\n\\end{array}\\right)$ $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\na & 0 \\\\\n0 & d\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠422dfebe-ce9e-4ab5-b630-c181d42def26is︠
%html
Los vectores de máximo peso de las componentes irreducibles (con sus combinaciones lineales) son las soluciones de $J_+ M = 0$
︡adf26313-a6a0-42df-b56d-f9287f2f1ff9︡{"html":"Los vectores de máximo peso de las componentes irreducibles (con sus combinaciones lineales) son las soluciones de $J_+ M = 0$\n"}︡
︠21380f13-e89f-4dbd-a012-6d0a71f30450︠
accionAlgebra(Jmas,M)
︡2ae9d7ae-d1f9-4a3c-adf9-975c3987cad1︡{"stdout":"[y + z t]\n[ t 0]\n"}︡
︠ef70a79a-0987-462d-8863-3d7a3af4d136is︠
%html
Son las matrices con $z=-y$ y $t=0$.
︡8ceecb14-59d9-4188-83c1-ef9d00ac766b︡{"html":"Son las matrices con $z=-y$ y $t=0$.\n"}︡
︠45bd3e69-5be7-41f3-8f37-4aadfb742138︠
show(M)
︡7dd101de-be1d-4b59-8339-b8fd495adc2e︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\nx & y \\\\\nz & t\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠9742672b-1b76-4c87-8fa7-22dc9ff2dbf2i︠
%html
Los vectores de máximo peso forman un subespacio de dimension 2: por tanto hay dos componentes irreducibles.
Introducimos $v_1$, $v_2$: base del subespacio de los vectores de máximo peso
︡cee62360-b49a-4f7c-bfa5-afdadbe0bab5︡{"html":"Los vectores de máximo peso forman un subespacio de dimension 2: por tanto hay dos componentes irreducibles.\n\nIntroducimos $v_1$, $v_2$: base del subespacio de los vectores de máximo peso\n"}︡
︠39c14edc-4fd9-4d42-916c-c4f4db992328s︠
v1 = matrix([[1,0],[0,0]])
v2 = matrix([[0,1],[-1,0]])
show(v1, v2)
show(accionAlgebra(Jdiag, v1), accionAlgebra(Jdiag, v2))
︡f4d8ab32-15e2-4c53-9b5e-2d47d6678e6f︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n1 & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$ $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n-1 & 0\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n2 \\, a & 0 \\\\\n0 & 0\n\\end{array}\\right)$ $\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & a + d \\\\\n-a - d & 0\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠652a3dfd-4a3f-482c-b66a-5ce9bf2ee803i︠
%html
$v_1$ es un vector de peso $(2,0)$,
$v_2$ es un vector de peso $(1,1)$.
︡e7d11c6e-cbe2-4377-b1fa-c759fdceb92d︡{"html":"$v_1$ es un vector de peso $(2,0)$,\n$v_2$ es un vector de peso $(1,1)$.\n"}︡
︠400308ab-88de-4b10-be8d-5e08d6dbe3cbs︠
v20 = v1
v11 = v2
︡792f8934-84b3-493e-988b-7b10efa88773︡
︠851f17f5-1c66-400c-a406-80539a0cb6adi︠
%html
La representación se descompone en $V_{2,0} \oplus V_{1,1}$.
︡49e9e11c-1f9d-444a-a348-8f06cc59185c︡{"html":"La representación se descompone en $V_{2,0} \\oplus V_{1,1}$.\n"}︡
︠8c40563e-138c-405f-83b5-4f874a7bdbbai︠
%html
Buscamos una base de cada una de las representaciones obtenida aplicando $J_-$ a los vectores de máximo peso.
︡efa4209f-ee12-4d20-b022-f73459550b99︡{"html":"Buscamos una base de cada una de las representaciones obtenida aplicando $J_-$ a los vectores de máximo peso.\n"}︡
︠38b10318-27a9-465f-affb-2bef8ce6c00c︠
v20_2 = accionAlgebra(Jmenos,v20)
show(v20_2)
︡f136aa54-cfcf-46e8-8040-52f5b8079973︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 1 \\\\\n1 & 0\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠084a7d6e-840f-43a4-85e3-3453e32d66ec︠
v20_3 = accionAlgebra(Jmenos,v20_2)
show(v20_3)
︡831e6347-0895-43bf-b96f-162b017fd69b︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n0 & 0 \\\\\n0 & 2\n\\end{array}\\right)$
"}︡
︠1c2a54f9-576a-4c02-b5db-333624156482︠
accionAlgebra(Jmenos, v20_3)
︡454adfe4-9b51-4f6a-8e4d-8b4e29c5e1f6︡{"stdout":"[0 0]\n[0 0]\n"}︡
︠661055de-60bc-42a8-8f16-ea0622508182i︠
%html
$V_{2,0}$ es el espacio de las matrices simétricas.
︡0109a7bc-5d4f-40ec-b55d-1bfbb5848329︡{"html":"$V_{2,0}$ es el espacio de las matrices simétricas.\n"}︡
︠be5290d4-eb0b-476f-84b0-635004fb819fs︠
accionAlgebra(Jmenos, v11)
︡767eeaa7-fecd-4c42-aadb-26e60462aea7︡{"stdout":"[0 0]\n[0 0]\n"}︡
︠cfa0f34b-c946-445d-bb1b-3296c5474777︠
︡a898f6b9-d3f4-451f-b335-3fcf4959f80c︡
︠92e5cbb3-26ac-4de0-9cd1-2509744e858e︠