Résumé :
L'objet de cette thèse est l'étude des polynômes multisymétriques : les invariants de l'action diagonale d'ordre r du groupe symétrique S_n.
Le premier chapitre est consacré à des généralités sur ces objets. En particulier, de nombreuses formules sont données pour exprimer les différentes familles remarquables de polynômes multisymétriques les unes en fonction des autres.
Dans le deuxième chapitre, on présente un nouvel algorithme pour calculer une base de Gröbner de l'idéal des relations entre les polynômes multisymétriques élémentaires.
Le troisième chapitre a pour objet le lien entre les polynômes multisymétriques et la sous-variété des produits de formes linéaires dans l'espace des polynômes homogènes de degré n en r+1 variables. On calcule explicitement une base de Gröbner de l'idéal de cette sous-variété dans le cas n=3,r=3 et dans le cas n=4,r=2. Des reformulations de la conjecture du pléthysme de Foulkes-Howe en termes de polynômes multisymétriques sont aussi données, qui permettent la vérification de cette conjecture aux petits ordres.
Le dernier chapitre est consacré à l'étude de relations explicites entre fonctions multisymétriques des zéros et coefficients de certains systèmes d'équations polynomiales avec un nombre fini de solutions.
Resumen :
El objeto de esta tesís es el estudio de los polinomios multisimétricos: los invariantes de la acción diagonal de orden r del grupo simétrico S_n.
El primer capítulo es dedicado a generalidades relativas a estos objetos. Especialmente se presentan varias fórmulas explícitas para conectar entre ellas las diferentes familias d epolinomios multisimétricos.
El capítulo 2 de la memoria presenta un nuevo algoritmo para calcular una base de Gröbner del ideal de las relaciones entre los polinomios multisimétricos elementales. En el capítulo 3 se estudia la conexión
entre los polinomios multisimétricos y la subvariedad de las formas totalmente factorizables, en el espacio de las formas homogeneas de grado n en r+1 vatiables. Se calcula explicitamente une base de Gröbner del ideal de esta variaedad en los casos n=3,r=3 y n=2,r=2. También son dadas reformulaciones de la conyectura del pletismo de Foulkes-Howe en terminos de polinomios multisimétricos , que permiten la verificación de la conyectura a los ordenes pequeños.
El ultimo capítulo se dedica al estudio de relaciones explicitas entre polinomios multisimétricos de las raices y coeficientes de ciertos esistemas de ecuaciones polinomiales con varias variables y número finito de raices.
Abstract :
This thesis deals with the study of the multi-symmetric polynomials: the invariants under the r-fold diagonal action of the symmetric group S_n.
The first chapter is devoted to generalities about these objects. Many formulae are given that connect the various remarkable families of multisymmetric polynomials with one another.
In the second chapter, it is presented an algorithm to compute a Gröbner basis of the ideal of relations between the elementary multisymmetric polynomials.
The third chapter deals with the connection between the multisymmetric polynomials and the subvariety of products of linear forms inside the space of forms of degree n in r+1 variables. A Gröbner basis of the ideal of this subvariety is computed in the case n=4,r=3, and in the case n=4,r=2.
Also, reformulations of the Foulkes-Howe Plethysm conjecture in terms of multisymmetric polynomials are given.
The last chapter is devoted to the study of explicit relations between the multisymmetric functions of the roots and the coefficients of certain systems of polynomials equations with finitely many solutions.
Errata :
BibTeX :
@PhdThesis{Briand:these,
author = {Briand, Emmanuel},
title = {Polyn{\^o}mes multisym {\'e}triques},
school = {Universit{\'e} de Rennes 1 et Universidad de Cantabria},
year = {2002},
}